李薩如(Lissajous)曲線（又稱利薩茹圖形、利薩茹圖形或鮑迪奇(Bowditch)曲線）是兩個(gè)沿著互相垂直方向的正弦振動(dòng)的合成的軌跡。

借由使用李薩如圖形可以測(cè)量出兩個(gè)信號(hào)的頻率比與差。在電工、無(wú)線電技術(shù)中,常利用示波器來(lái)觀察利薩如圖形,并用以測(cè)定頻率或相位差。

在示波器的應(yīng)用中，李薩如圖形（XY模式）就是在X軸和Y軸上輸入不同信號(hào)（通常同頻異相），把他們有機(jī)的疊加起來(lái)所形成的一種圖形。兩個(gè)連續(xù)信號(hào)疊加的李薩如圖形是一個(gè)閉合的曲線。通過(guò)對(duì)波形的觀察，可以比較出兩組波的差異，在已知一組波的相關(guān)數(shù)據(jù)的情況下可以得出另一組波的相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)又可以得出與那一組波的相關(guān)的一些數(shù)據(jù)等，從而求出所需數(shù)據(jù)，如求頻率，電阻，電阻的變化情況，容抗阻抗，電壓大小等。

本文以泰思電子科技（www.fescale.com）的無(wú)線示波器（F28M6D）來(lái)實(shí)際測(cè)量不同特征下的波形的李薩如圖形。

 

相位差為93度的三角波與正弦波的李薩如波形合成

上圖測(cè)試的是同頻同幅度相位差為93度的三角波與正弦波的李薩如波形合成，由圖可以直觀看出X方向是正弦波的輪廓，而Y方向是三角波的輪廓。

李薩如圖形的matlab描述：plot(cha, chb);。其中cha是A路通道波形數(shù)據(jù)矩陣，chb是B路波形的數(shù)據(jù)矩陣。

 

同相位下的兩組正弦波的李薩如圖

上圖為同幅同頻同相位下的兩組正弦波的李薩如圖，顯然是一條45度的直線。

下面我們來(lái)看下不同參數(shù)（頻率，幅度，相位）下的兩個(gè)正弦波信號(hào)的李薩如圖形的輪廓。

1、幅度對(duì)李薩如圖形的影響。

 

上圖所示的兩組信號(hào)振幅比為500/160。

籠統(tǒng)的說(shuō)，振幅之比Ax/Ay就等于Y方向的寬度比上X方向上的寬度，根據(jù)這個(gè)寬度的變化就可以發(fā)現(xiàn)振幅的變化，進(jìn)而推出影響輸入信號(hào)振幅的一些東西的變化，比如電壓大小。如果兩個(gè)信號(hào)是在電路中，就可以得出兩塊電壓之比，進(jìn)而求電阻值，再根據(jù)相位差的關(guān)系，還可以求出容抗阻抗之類的東西。

2、頻率對(duì)李薩如圖形的影響。

 

上圖是頻率比是2/1。

 

頻率比是2/3

上圖是頻率比是2/3。

由上面的圖形可知在T時(shí)間內(nèi)，X方向和Y方向都經(jīng)過(guò)了幾個(gè)完整的周期，之后又重頭開始，和剛開始時(shí)一樣。

李薩如圖形本身還具有一個(gè)特點(diǎn)，圖形邊界與水平方向的交點(diǎn)和豎直方向的交點(diǎn)的比等于fy/fx，如上圖，因?yàn)閳D形的最低點(diǎn)即為Y方向信號(hào)的波谷，圖形最左端與豎直的交點(diǎn)即為X方向信號(hào)的波谷，在一個(gè)李薩如圖形周期T內(nèi)，有幾個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)X方向和Y方向信號(hào)就經(jīng)歷了多少個(gè)周期，正好與fy/fx相吻合?？梢愿鶕?jù)圖形的交點(diǎn)狀況，確定出信號(hào)的頻率大小。

3、不同頻率和不同振幅下的李薩如圖形。

 

振幅比為1/2，頻率比為2/5

上圖兩組信號(hào)振幅比為1/2，頻率比為2/5。

顯然不同振幅和不同頻率下的李薩如圖形是可以反饋在水平垂直寬度比和交點(diǎn)數(shù)量上的。

4、相位對(duì)李薩如圖形的影響。

 

上圖為兩組信號(hào)頻率比1/2且相位不同的圖。

 

上圖為兩組信號(hào)頻率比1/3頻率下不同相位的圖。

兩個(gè)信號(hào)的初相位不同不會(huì)對(duì)李薩如圖形的周期和交點(diǎn)造成影響，但是會(huì)對(duì)圖形的形狀

產(chǎn)生影響。

可以根據(jù)相位差求出很多東西。其原理如下：在頻率比確定情況下，改變初位相，可得到兩類曲線形狀：一類是有兩個(gè)端點(diǎn)的放，另一類是連續(xù)的封閉的圖形曲線。對(duì)開放曲線,合運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在端點(diǎn)處改變其運(yùn)動(dòng)方向，所以在端點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為零。而連續(xù)的封閉的圖形曲線，則不存在質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)方向的點(diǎn)，即不存在速度為零的點(diǎn)因此對(duì)應(yīng)的曲線封閉與否，可由曲線上是否存在速度為零的點(diǎn)而判定。這可以作為一種曲線封閉與否的判定方法，也可以求出在頻率比確定情況下封閉或開放的曲線的初位相。

 

不同頻率不同相位下的李薩如圖形

上圖所示為不同頻率不同相位下的李薩如圖形。

5、利用示波器的李薩如圖形功能測(cè)量信號(hào)相位差的一個(gè)實(shí)例

我們知道同一個(gè)信號(hào)源經(jīng)過(guò)不同的傳輸鏈路，由于不同鏈路間的容抗等不一致最終會(huì)導(dǎo)致波形之間產(chǎn)生一定的相位差。準(zhǔn)確的測(cè)量出波形間的相位差在評(píng)定鏈路的性能具有很重要的意義。

使用FreeTest無(wú)線示波器測(cè)量相位的過(guò)程。

準(zhǔn)備：

a、 FreeTest F28M6D示波器

b、 便攜式信號(hào)源，可以輸出兩路可調(diào)相信號(hào)

c、 相關(guān)線材

步驟：

1、 接上兩路信號(hào)，點(diǎn)擊自動(dòng)設(shè)置獲取穩(wěn)定的波形。

2、 開啟均值模式（comulative 128），這樣可以剔除掉波形在傳輸過(guò)程中疊加的高斯白噪聲。

3、 開啟XY模式（即李薩如圖）即可顯示出穩(wěn)定的相位。

 

兩路波形輸出為49度相位差的信號(hào)

兩路波形輸出為49度相位差的信號(hào)。

 

剔除隨機(jī)噪聲污染

設(shè)置均值模式剔除隨機(jī)噪聲污染。

PS：在不做平均的時(shí)候，得到的李薩如圖形可能會(huì)有輕微跳動(dòng)，測(cè)的相位角變化較快；注意兩路需要求得相同均值，則所測(cè)相位也是多次平均后結(jié)果；這樣的測(cè)量結(jié)果還是比較準(zhǔn)確的。

 

開啟XY模式

開啟XY模式。

如上所示兩路波形的相位差：49度。

小結(jié)：

在80/90的年齡層工程師中，大家首先接觸的李薩如圖形大都在模擬示波器，就是那種熒光屏的設(shè)備。原理是調(diào)制兩路信號(hào)作為陰極射線管的XY兩軸偏移量，這樣就實(shí)現(xiàn)了上述李莎如圖形的展現(xiàn)原理。而在后面的示波器中，無(wú)論是泰克的還是國(guó)產(chǎn)的知名品牌，入門級(jí)產(chǎn)品均沒(méi)有這個(gè)功能；原因有兩個(gè)：一是這個(gè)功能只能看到形狀，不直觀，應(yīng)用場(chǎng)合較小，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，沒(méi)必要占用本身處理能力有限的CPU資源；二是在高端產(chǎn)品提供這個(gè)可以作為拉開價(jià)格的噱頭。

其實(shí)在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)信號(hào)處理器的解析能力已經(jīng)可以比較精準(zhǔn)的測(cè)得相位角，上述案例的示波器就是將底層的信號(hào)采樣及算法運(yùn)算部分放到里示波器設(shè)備來(lái)處理，而這個(gè)李薩如圖形的計(jì)算則是集成到了手機(jī)上面，以現(xiàn)在的移動(dòng)處理器性能；計(jì)算相位角真實(shí)綽綽有余。