前面講了一些基本的傳遞函數(shù)，但是這些都是開環(huán)電路的傳遞函數(shù)，我們現(xiàn)在來闡述一下基本的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

左邊框圖表示了一個帶有負反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其中Vi（s）為輸入信號，Vo（s）為輸出信號，G（s）為前項的傳遞函數(shù)，H（s）反饋傳遞函數(shù)，那么我們就可以得到這樣一個等式，[Vi（s）-Vo（s）*H（s）]*G（s）=Vo（s），這里的Vo（s）*H（s）為反饋過來的信號，那么把這個等式經(jīng)過變化之后就可以得到Vo（s）/Vi（s）= G（s）/[1+H（s）G（s）]，這樣的表達方式我們稱之為標準的閉環(huán)傳遞函數(shù)。其中H（s）*G（s）為開環(huán)傳遞函數(shù)，那么這樣的閉環(huán)傳遞函數(shù)表達了輸出Vo和輸入Vi的一種關(guān)系函數(shù)。

從閉環(huán)傳遞函數(shù)，我們同時可以得到一個線索，如果H（s）*G（s）也就是開環(huán)傳遞函數(shù)，正好等于-1的時候，那么 Vo/Vi就會變得無窮大，也就是說這個時候系統(tǒng)會產(chǎn)生自激震蕩，那么在復(fù)數(shù)里面-1表示什么呢？它表示的就是增益為1，或者說0db相位180度。由此我們可以得出什么結(jié)論呢？在這樣一個負反饋系統(tǒng)里面，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的增益等于0，或者說0db，同時相移為180度的時候，整個系統(tǒng)就會出現(xiàn)自激震蕩。所以我們在設(shè)計閉環(huán)反饋系統(tǒng)的時候，要避免出現(xiàn)這樣的情況。

那么這里要強調(diào)一點，有的時候我們會把負的H（s）乘以G（s）嘴開環(huán)傳遞函數(shù)，也就是說把反饋里面的減號算在開環(huán)傳遞函數(shù)里面，如果這樣的話，計算出來的結(jié)果要在開環(huán)傳遞函數(shù)等于1的時候，系統(tǒng)會產(chǎn)生自激震蕩。那么傳遞函數(shù)等于1，就表示著增益為0db，相移為360度。事實上我們在計算電源補償環(huán)節(jié)的時候，經(jīng)常有人會搞錯負號的計算，導(dǎo)致兩種計算的相位相差了180度。

剛才我們說到可以根據(jù)開環(huán)的傳遞函數(shù)來判斷什么時候會產(chǎn)生自激震蕩。為了避免這種自激震蕩，我們就需要避免開環(huán)傳遞函數(shù)等于-1的情況，意味著不能讓增益等于0db，相位等于180度，這兩種條件同時出現(xiàn)，這樣才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

那么我們怎么來判斷反饋系統(tǒng)有足夠的穩(wěn)定性呢？有一種非常簡單的辦法，就是描繪波特圖來判定。

如何描繪波特圖呢？ 首先我們要把開環(huán)傳遞函數(shù)就是H（s）乘以G（s）的函數(shù)公式寫出來，這個公式寫出來之后一定是一個復(fù)數(shù)函數(shù)，然后對這個復(fù)數(shù)函數(shù)求模，把求出來的模以橫軸為頻率，縱軸為增益的形式描繪出來。其次，可以對負數(shù)函數(shù)求角度，也就是相位，把相位以同樣的方式描繪出來，這樣就形成了開放函數(shù)的波特圖。

波特圖里面包含了增益曲線和相位曲線，那么如圖中所示，圖中的藍色曲線為增益曲線，紅色曲線為相位曲線，從這個波特圖中我們就可以得到三個重要的參數(shù)。

第一個就是相位余量。什么是相位余量？就是當(dāng)增益穿過0db的時候，相位離180度還有多少余量。這里還要強調(diào)一下，如果開環(huán)傳遞函數(shù)是負的H（s）乘以G（s）那么就是離360度或者0度還有多少余量稱為相位余量。通常我們認為相位余量大于45度，是足夠維持系統(tǒng)穩(wěn)定性的。

第二個就是增益余量。當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)相位達到180度或者0度的時候，增益離0db的余量叫做增益余量。我們認為小于-6db就可以維持系統(tǒng)穩(wěn)定。

這兩個余量都是為了避免系統(tǒng)產(chǎn)生自激震蕩而保留的余量。但是在很多情況下，有些客戶會要求我們設(shè)計的電源系統(tǒng)相位余量達到60度，增益余量達到-10db，這些更高的要求。

第三個參數(shù)就是帶寬或者說穿越頻率，在開關(guān)電源系統(tǒng)里面，我們希望帶寬越寬越好，帶寬寬意味著動態(tài)響應(yīng)更容易做好，但實際上電源系統(tǒng)的帶寬是受到約束的。一般情況下，電源的帶寬受開關(guān)頻率的限制，通常我們會把帶寬設(shè)計在1/5~1/6開關(guān)頻率以下，但是如果這個電源系統(tǒng)有右半平面零點，那么帶寬就會設(shè)置在1/3右半平面零點以下。

在這張圖里面我們可以看到這個波特圖的相位余量為65度，增益余量為-19db，而帶寬大概在5k左右，在我們實際設(shè)計中不可能把三個參數(shù)都設(shè)置的最優(yōu)，因為他們都有互相牽制的作用，所以這三個參數(shù)一定是全盤考慮折中之后的結(jié)果。

在開關(guān)電源系統(tǒng)里面，我們通常把整個開關(guān)函數(shù)分成兩個大的環(huán)節(jié)，比如圖中所示的電壓型buck電路，我們把紅框里面的電路做一個環(huán)節(jié)，這個環(huán)節(jié)所表達的函數(shù)F（s）=d（s）/Vo（s），這個表達式的物理意義就是當(dāng)Vo產(chǎn)生變化的時候，占空比會怎么變化?；@筐里面的電路作為另外一個環(huán)節(jié)，那就是P（s）=Vo（s）/d（s），它表達了當(dāng)占空比變化的時候，Vo又會怎樣變化。那么F（s）乘以P（s）就形成了該電源的開環(huán)傳遞函數(shù)。

接下來我們就要去做的就是，第一步，把F（s）和P（s）的傳遞函數(shù)寫出來，然后把兩個函數(shù)相乘，最后形成一個總的開環(huán)傳遞函數(shù)。第二步，把這總的開環(huán)傳遞函數(shù)的模和相位求出來，并且以波特圖的形式把曲線描繪出來。第三步，根據(jù)波特圖來判斷其穩(wěn)定性。

我們可以說第一步是最關(guān)鍵的一步，也是最難的一步，我們來看一下電路圖，為什么我們要把它分成兩個環(huán)節(jié)。一個是紅框里面的電路，一個是籃筐里面的電路。因為我們可以看到紅框里面的電路是完全線性的電路，對線性電路來說，我們只要學(xué)過電路原理，都能輕松的寫出傳遞函數(shù)。但是籃筐里面電路卻是包含了開關(guān)電路，這是個非常典型的非線性電路，對于非線性電路理論上是寫不出傳遞函數(shù)的。

這里來介紹一下什么是線性電路呢？就是全由線性元器件組成的電路稱之為線性電路。比方說我們常用的電阻，電容和電感，以及運算放大器等就是線性元件，因為他們的參數(shù)并不會隨著外界條件的改變而改變。比方說電感的感量，理論上是不會隨著電感電流變化，又比如說電容的容量也不會隨著電容上的電壓變化，這樣的元器件稱之為線性元件。但是什么又是非線性元件呢？比如mos管，mos管工作在開關(guān)狀態(tài)的時候，它是受門極電壓控制的，當(dāng)門極電壓是高電平的時候，導(dǎo)通mos管可以等效為一個很小的電阻，但是當(dāng)門極電壓是低電平時，mos管關(guān)斷，它又可以等效為開路模式。就是這種參數(shù)受其他條件控制的元器件稱之為非線性器件，包含了非線性器件的電路，就是非線性電路。

當(dāng)然我們實際應(yīng)用的電感和電容多多少少有點非線性特性，比如電感的感量實際上會隨著電感電流增大而下降，而某些電容的容值也會隨著電容上的電壓增大而減小。但是我們在理論分析的時候，還是會把這些元器件當(dāng)做線性元件來分析。

早在上個世紀開關(guān)電源的穩(wěn)定性分析一直困擾著電源工程師，因為大家都知道開關(guān)電源是非線性系統(tǒng)，無法寫出線性電路中的傳遞函數(shù)，而非線性電路理論又是大家不熟悉的知識，所以基本上電源的穩(wěn)定性只能靠測試、經(jīng)驗等方式來解決，直到幾位美國的大學(xué)教授開辟了一個新的路徑，就是把非線性電路線性化，我們現(xiàn)在常說的狀態(tài)空間平均法。狀態(tài)空間平均法的要義就是把離散的周期信號平均化，然后近似為連續(xù)信號。

比如上圖的脈沖波，為一串占空比不斷變化的脈沖，這就是一個離散的信號。如果我們把這些信號在一個周期內(nèi)做平均，或者說我們來個低通濾波器，濾掉高頻信號，我們就可以得到一個帶有開關(guān)紋波的連續(xù)波動信號。再次把開關(guān)頻率的紋波抹掉，我們就可以得到一個連續(xù)光滑的波動曲線。這樣我們就把脈沖電壓信號平均等效為下圖中的連續(xù)信號?；谶@樣的思路，就可以把開關(guān)電源中的一些周期開關(guān)信號平均為連續(xù)信號，并且把開關(guān)電路等效為一些線性電路。

基于這種近似等效的方法，我們就可以建立開關(guān)電源的交流小信號模型。為什么叫交流小信號模型呢？因為這種模型是建立在直流工作點上的交流模型，而且這個模型只有在傳遞足夠小的信號前提下，才能保證準確性，但是這種模型對開關(guān)電源的環(huán)路分析具有非常重大的意義。這種模型由于做了平均化，事實上只有在低頻信號下才是準確的。如果當(dāng)信號頻率開始接近脈沖信號頻率的時候，它的準確度就會大大降低。比如下圖中的連續(xù)信號，包含了低頻的勞動和脈沖頻率的波動，平均法建立的模型對低頻勞動來說是準確的，但是對脈沖頻率的勞動是不準確的。

在我們實際應(yīng)用中，通常認為信號頻率低于開關(guān)頻率的1/3，可以認為是比較準確的，低于開關(guān)頻率的1/10，這種模型可以認為是非常準確。那么這個狀態(tài)空間平均法雖然是采用了近似的方式把開關(guān)電路線性化了，有著很多的局限性，可是他的理論簡單易懂，方法直接有效。所以到目前為止，依然是最受歡迎的分析方法。

雖然利用狀態(tài)空間平均法推導(dǎo)小信號模型，在學(xué)術(shù)上被認為是相對簡單的方法，但是實際上它并沒有那么簡單，還是需要繁瑣的公式推導(dǎo)，這就需要相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)功底。雖然這些知識在我們一些大學(xué)教科書上已經(jīng)被詳細的闡述了，但是很多工程師還是無法準確地推導(dǎo)出小信號模型。不過幸好我們電源所用的大多數(shù)拓撲都是被研究了一次又一次，所以基本上常見的拓撲小信號模型都已經(jīng)被推導(dǎo)過了，我們只要直接拿來用就可以了。

這里我們就來看一下三個基本拓撲Buck、Boost、Buck-Boost。

在電壓模式下的小信號模型，這邊采用一個統(tǒng)一的公式來表達三個拓撲的小信號模型， 那就是：

在這Gvd（s）表達了 V o的變化除以占空比的變化。也就是說當(dāng)占空比在某個直流工作點的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了正弦波的交流勞動，那么這個勞動最后會傳遞到輸出，這個傳遞函數(shù)就是表達了輸出和占空比之間的關(guān)系。

仔細看一下這個傳遞函數(shù)它包含了三個要素，首先是直流增益Gd0，還有是一個右半平面零點ωz和一對復(fù)合雙極點ω0。

具體來先看Buck電路，Buck電路的直流增益為V/D，其中的V表示為輸出電壓，那么V/D實際上就是輸入電壓，所以我們可以說Buck電路的直流增益就是輸入電壓。其次為復(fù)合雙極點的位置，這個雙極點的位置在：

這里的R為負載電阻，那么理論上來說當(dāng)空載的時候，也就是R為無窮大的時候，Q值應(yīng)該也是無窮大。但是我們實際在測試的時候，即便是空載Buck電路的Q值也沒有那么的大，那是因為在實際中電感的直流電阻，mos管的導(dǎo)通電阻都會降低Q值，只不過在理論分析的時候沒有把它們考慮進去。

最后一個參數(shù)就是右半平面零點ωz，事實上Buck電路是沒有右半平面零點的，所以這里就是無窮大。

表的下面兩行同樣列出了Boost和Buck-Boost 4個參數(shù)，最主要的不同是Buck沒有右半平面零點，而Boost和Buck-Boost有零點。

我們前面也講了，右半平面零點是無法補償?shù)模訠oost和Buck-Boost的環(huán)路帶寬必須低于右半平面零點。而在實際上為了可靠性，一般會把帶寬設(shè)計在低于1/3的右半平面零點。如果以Boost為例，我們可以看到占空比越大，負載越重，電感越大，那么右半平面零點的頻率越低，所以在設(shè)計Boost的時候，為了避免右半平面零點頻率過低，電感量必須盡量取小。

當(dāng)然這里的模型是在連續(xù)模式下推導(dǎo)出來的，如果是在DCM也就是在斷續(xù)模式下傳遞函數(shù)就會有很大的不同。最大的變化就是Boost和Buck-Boost的右半平面零點就不存在了。

除了電壓型控制之外，最受歡迎的控制方式就是電流型控制。電流型控制里面比較常用的是峰值電流和谷底電流控制。和電壓型不同的是電流型控制常規(guī)模型里面并沒有l(wèi)c形成的復(fù)合雙極點，取而代之的是兩個分開的極點，一個在低頻處，另外一個在高頻處。因為一般情況下高頻極點遠遠高于環(huán)路帶寬，所以可以忽略掉。為了簡化計算，我們只有可以用一個一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來表達電流型控制，那么它表達公式為：

這里的ic表示為受控電流，也就是電感電流的勞動。這個傳遞函數(shù)表達了什么呢？當(dāng)電感電流出現(xiàn)擾動，最后傳遞到輸出電壓的勞動是什么樣的。

和電壓模式一樣，它也包含了三個基本參數(shù)，一個就是直流增益Gd0，一個就是右半平面零點ωz，另外就是一個單極點ω0。

以Boost為例，我們可以看到直流增益Gd0為：

這里的D'=1-D。那么單極點的位置為2/RC，右半平面零點的位置依然為和電壓型控制一樣為：

我們可以看到這個傳遞函數(shù)里面只有一個極點，但是在實際應(yīng)用的時候，電流型控制通常是要加斜率補償，加了斜率補償之后，高頻極點的位置就會往低頻段挪，那樣有時候我們就不能忽略掉這個極點，這個時候我們就需要更為精確的數(shù)學(xué)模型，如果大家對更為精確的數(shù)學(xué)模型感興趣的話，可以參考一些文獻，甚至有些文獻推導(dǎo)出來具有三個起點的精確模型。

那么最后這里再強調(diào)一下，對于Boost和Buck-Boost電流型控制并不能消除它們的右半平面零點。

剛才的小信號模型為了簡化公式推導(dǎo)，都沒有考慮輸出電容的ESR，但是在實際應(yīng)用中，電容或多或少存在ESR，特別是電解電容的ESR更不能忽視。所以我們在計算模型的時候還是要把ESR考慮進去。這里來講一下電容ESR對環(huán)路帶來的影響。

首先如果輸出只有一個電容，那么電容的ESR會給環(huán)路帶來一個零點，零點的位置就是ωz=1/RC，或者說 Sz=2π*1/RC，這里的R就是電容ESR。

但是如果有多個電容并聯(lián)，那么多個電容并聯(lián)會給我們計算帶來很大的麻煩。很多人喜歡把多個電容等效為一個電容，但實際上只有多個相同的電容才能等效為一個電容，如果多個不同的電容并聯(lián)，不能簡單的等效。

我們來看一下一個兩個電容并聯(lián)的例子，C1和C2并聯(lián)分別有兩個ESR，R1和R2。那么我們可以推導(dǎo)出實際上兩個電容并聯(lián)會給環(huán)路帶來兩個零點和一個極點，分別是ωz1=1/R1C1，ωz2=1/R2C2，ωp=（C1+C2）/（R1+R2）C1C2。這里ωz1和ωz2是兩個零點，ωp是一個極點。那么我們可以看出來，只有當(dāng)C1=C2的時候，并且R1也等于R2的時候，那么其中一個零點就可以把極點抵消掉，這樣的話我們就才可以等效為一個電容，可以認為它帶來了一個零點。

如果是更多不同的電容并聯(lián)，那么情況會變得更復(fù)雜。所以有時候電容也是我們實際情況和理論有所差異的一個重要原因。