剛才講了功率電路部分的傳遞函數(shù)，接下去就要講反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。相比功率電路電源常用的反饋環(huán)節(jié)，基本上就是以運(yùn)算放大器為主的電路，運(yùn)放電路是個(gè)典型的線性電路，可以很容易的推導(dǎo)出傳遞函數(shù)。
首先我們來(lái)看一下1型補(bǔ)償，Vin通過(guò)R1、R2分壓加到運(yùn)放的一端，運(yùn)放的輸出和負(fù)擔(dān)之間跨著一個(gè)電容C1，這就是最簡(jiǎn)單的1型補(bǔ)償電路。但是我們要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在交流小信號(hào)模型里面，所有的信號(hào)都是交流小信號(hào)，所以直流信號(hào)可以等效為零電位，也就是說(shuō)運(yùn)放正端的基準(zhǔn)VREF是一個(gè)完全的直流信號(hào)，所以VREF可以等效為地，那么上圖就可以直接等效為下圖，這樣的話我們就可以推導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)，Vo/Vin=-1/R1C1S，如果把這個(gè)傳遞函數(shù)的模求出來(lái)，描繪成波特圖，我們可以發(fā)現(xiàn)其中包含了一個(gè)初始起點(diǎn)，也就是說(shuō)從頻率起點(diǎn)開(kāi)始增益就以20db/10倍頻斜率下降，而在穿越0db的時(shí)候，頻率點(diǎn)為f=1/2πR1C1。
相位的話從初始頻率開(kāi)始就已經(jīng)滯后270度，為啥是270度呢？因?yàn)樨?fù)反饋本身就滯后了180度，再加上初始極點(diǎn)帶來(lái)的90度滯后，這里我們已經(jīng)得到了初始極點(diǎn)的表達(dá)式，但是初始極點(diǎn)是一個(gè)比較特殊的極點(diǎn)，理論上來(lái)說(shuō)它應(yīng)該是一個(gè)位于頻率為0的極點(diǎn)，所以轉(zhuǎn)折頻率對(duì)初始極點(diǎn)來(lái)說(shuō)已經(jīng)失去了意義，而唯一的特征就是當(dāng)他增益等于0的點(diǎn)，剛才我們所說(shuō)的f=1/2πR1C1，如果這個(gè)頻率點(diǎn)越低，整體增益曲線就會(huì)往下移，如果頻率越高，那么增益曲線就會(huì)往上移。
相較于1型補(bǔ)償，2型補(bǔ)償稍微復(fù)雜一點(diǎn)，2型補(bǔ)償比1型補(bǔ)償多了一個(gè)串聯(lián)的RC，就是圖中的C1和R2，同樣把公式推導(dǎo)出來(lái)，我們可以得到這么一個(gè)傳遞函數(shù)，那就是：
我們可以看到2型補(bǔ)償總共有兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，分別是一個(gè)初始極點(diǎn)，這個(gè)初始極點(diǎn)的位置在增益等于0db處為f=1/2πR1*（C1+C2）。那么如果C2遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于C1，我們就可以簡(jiǎn)化成f=1/2πR1C1，那么初始極點(diǎn)跟剛才我們所講的1型補(bǔ)償是一樣的。
除此之外還有一個(gè)常規(guī)極點(diǎn)，該極點(diǎn)的轉(zhuǎn)折頻率為：
那么同樣如果C2遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于C1，我們?cè)谟?jì)算這個(gè)極點(diǎn)的時(shí)候可以把C1忽略掉，這樣可以近似認(rèn)為這個(gè)級(jí)別的轉(zhuǎn)折頻率為1/2πR2C2。那么在這里為什么可以忽略掉？很簡(jiǎn)單，當(dāng)C2遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于C1的時(shí)候，C2加上C1就可以近似的等于C1，這樣公式里的分子和分母的C1就可以約掉了。
除了這兩個(gè)極點(diǎn)外，2型補(bǔ)償還帶來(lái)一個(gè)零點(diǎn)，該零點(diǎn)的轉(zhuǎn)折頻率為1/2πR2C1。這樣我們就可以看到2型補(bǔ)償它總共有兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，那么我們通常設(shè)計(jì)的時(shí)候，一個(gè)初始極點(diǎn)和零點(diǎn)都是把它設(shè)計(jì)在帶寬之內(nèi)，另外一個(gè)極點(diǎn)往往就是把它設(shè)計(jì)成帶寬之外，所以我們?cè)陔娏餍涂刂评锩妫?型補(bǔ)償就可以很好的維持整個(gè)環(huán)路一階系統(tǒng)的特性。
3型補(bǔ)償是一種更為復(fù)雜的補(bǔ)償電路。相比2型補(bǔ)償3型補(bǔ)償又多了R3和C3。如果把公式推導(dǎo)出來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)總共有3個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)。除了剛才2型補(bǔ)償擁有的兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，還額外加入了一個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)。那么這個(gè)額外的零點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率為1/2π（R1+R3）C3。那么假如R1 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R3，那么我們可以簡(jiǎn)化成這個(gè)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)折頻率為f=/2πR1C3。除了這個(gè)零點(diǎn)之外，那么還會(huì)帶來(lái)一個(gè)極點(diǎn)，該極點(diǎn)的位置為f=1/2πR3C3。
所以在一些電壓型的控制拓?fù)淅锩嫱鶗?huì)采用3型補(bǔ)償。因?yàn)?型補(bǔ)償可以帶來(lái)兩個(gè)零點(diǎn)，那么可以很好的補(bǔ)償電壓型里的兩個(gè)極點(diǎn)。
除了我們剛才所講的常規(guī)運(yùn)放，在我們電源系統(tǒng)里面還有一種運(yùn)放也非常常見(jiàn)，那就是跨導(dǎo)型運(yùn)放。常規(guī)運(yùn)放是把電壓信號(hào)放大為電壓信號(hào)，跨導(dǎo)型運(yùn)放是把輸入的差分誤差電壓轉(zhuǎn)化成電流輸出。
所以和普通運(yùn)放不同，它有個(gè)跨導(dǎo)gm，gm表達(dá)的意義為 輸出電流/輸入差分電壓，它的單位通常為西門(mén)子，而且在跨導(dǎo)型運(yùn)放里面gm不會(huì)很大。所以在理論計(jì)算的時(shí)候，我們不能把它認(rèn)為無(wú)窮大。但是在常規(guī)的運(yùn)放里面，我們?cè)谧隼碚撚?jì)算的時(shí)候，通常是會(huì)近似的認(rèn)為他的直流增益為無(wú)窮大。那么這種跨導(dǎo)型的運(yùn)放好處是什么呢？因?yàn)樗妮敵黾?jí)是電流源特性，也就是意味著他可以直接并聯(lián)，所以采用這種運(yùn)放可以對(duì)我們的開(kāi)關(guān)電源并聯(lián)創(chuàng)造條件。
但是跨導(dǎo)型運(yùn)放的補(bǔ)償電路的傳遞函數(shù)計(jì)算方法基本上和常規(guī)運(yùn)方式一致的。圖中是一個(gè)有跨導(dǎo)型運(yùn)放組成的3型補(bǔ)償，那么下面的公式就是推導(dǎo)出來(lái)的傳遞函數(shù)。我們可以看到它同樣具有3個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)。
在我們?cè)O(shè)置電源反饋的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)用到光耦和431的配合電路，那么光偶配合431的電路傳遞函數(shù)怎么寫(xiě)呢？這個(gè)其實(shí)是有點(diǎn)麻煩的。
首先我們來(lái)看431，431其實(shí)可以看做是一個(gè)帶基準(zhǔn)的運(yùn)放，所以這個(gè)電路的傳遞函數(shù)不是什么問(wèn)題，我們就根據(jù)和運(yùn)放類(lèi)似的推導(dǎo)方式，就可以把431的傳遞函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)。
那么問(wèn)題最麻煩的是光偶，對(duì)于光偶，即便是稱(chēng)之為線性光耦的光耦，它也是具有很強(qiáng)的非線性特性。
我們先看左圖，左圖是光偶的增益曲線，我們可以看到光偶的增益曲線和光偶所帶的負(fù)載有很大的關(guān)系。當(dāng)光耦負(fù)載為10kΩ的時(shí)候，增益曲線在不到1kHz的地方就開(kāi)始下垂了。但如果負(fù)載是100Ω的時(shí)候，增益曲線在40~50k的地方才開(kāi)始下垂，而且下垂的斜率完全不同，這樣就導(dǎo)致我們無(wú)法采用一個(gè)精確的公式來(lái)表達(dá)光耦的傳遞函數(shù)。所以有的時(shí)候?yàn)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，我們會(huì)把光偶的傳遞函數(shù)固定在一個(gè)固定的值，就是電流傳輸比CTR。如果這樣就意味著把光偶的增益曲線簡(jiǎn)化成一條水平直線，不隨頻率變動(dòng)。當(dāng)然這樣的計(jì)算方式是很簡(jiǎn)單，但是卻帶來(lái)了不小的誤差。
同時(shí)也有一些文獻(xiàn)人為的加入了一個(gè)極點(diǎn)，在光偶的傳遞函數(shù)中，這種方式更好的模擬了增益曲線下垂的特性，但是實(shí)際上這也是一種人為模擬，光偶真實(shí)的增益特性并不是一個(gè)單極點(diǎn)特性，所以也不算是一種很科學(xué)的辦法，但是我們沒(méi)有更好的辦法寫(xiě)出光偶的傳遞函數(shù)，所以也就只能這樣了。
但是光偶的這種非線性特性會(huì)導(dǎo)致我們整個(gè)電源的環(huán)路帶寬做不寬，所以在一些對(duì)于輸出動(dòng)態(tài)要求很高的電源設(shè)計(jì)里面，會(huì)盡量避免采用光偶來(lái)做反饋。
下面的公式就是右圖推導(dǎo)出來(lái)的傳遞函數(shù)，這里把光偶的電流傳輸比作為固定參數(shù)，不隨頻率變化，所以可以得到這么一個(gè)傳遞函數(shù)。
不過(guò)還有一點(diǎn)我們需要注意的是，這里的看到的光偶它的供電是由穩(wěn)壓管供電，也就是說(shuō)光偶的供電是一個(gè)穩(wěn)定電壓，但是如果去掉穩(wěn)壓管，直接由輸出供電，那么傳遞函數(shù)會(huì)怎么樣呢？大家可以嘗試去推導(dǎo)一下，其實(shí)結(jié)果還是有挺大的不一樣。
剛才講了那么多，主要是描述電源各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。既然電源環(huán)路中各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都可以寫(xiě)出來(lái)了，那么怎么得到我們想要的完整的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)呢？這里舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，就是電壓型控制的buck電路。
我們?nèi)绾蝸?lái)計(jì)算開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)？我們先看圖，我們來(lái)圖中先在輸出端把整個(gè)環(huán)路斷開(kāi)，斷開(kāi)的地方分為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)是勞動(dòng)信號(hào)的輸入vi，一個(gè)是輸出vo，也就是說(shuō)我們從輸入vi處注入一個(gè)正弦波信號(hào)，那么最后到了vo，正弦波信號(hào)的增益是多少，相移又是多少？這個(gè)就是我們所關(guān)心的東西。
那么如何得到這些呢？只要我們把傳遞函數(shù)vo/vi寫(xiě)出來(lái)之后，自然就可以得到計(jì)算結(jié)果了。這里我們把整個(gè)函數(shù)分成三段，一段是vc/vi也就是補(bǔ)償環(huán)節(jié)，勞動(dòng)信號(hào)注入之后傳遞到運(yùn)放的輸出。那么這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)我們上面已經(jīng)講過(guò)了，就是運(yùn)放的補(bǔ)償電路的傳遞函數(shù)。那么第二個(gè)環(huán)節(jié)，是d/vc，這里的d為占空比的勞動(dòng)，這個(gè)是運(yùn)放的輸出電壓到占空比的傳遞函數(shù)。那么它實(shí)際的表達(dá)式應(yīng)該為1/Vramp，這里的Vramp是控制電路里面鋸齒波的峰峰值。為什么是1/Vramp呢？其實(shí)很簡(jiǎn)單，當(dāng)占空比從0變到1的時(shí)候，也就是從vc從鋸齒波的谷底變到峰值這樣一段。那么最后一個(gè)環(huán)節(jié)就是vo/d了，這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)在前面講電壓型小信號(hào)模型的時(shí)候已經(jīng)講過(guò)了，那么最后把這三個(gè)函數(shù)相乘就得到了我們所要的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。
那么最后如何來(lái)計(jì)算這些參數(shù)呢？通常功率環(huán)節(jié)的參數(shù)是根據(jù)功率電路的要求已經(jīng)設(shè)置好的，我們只需要將補(bǔ)償環(huán)節(jié)的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)就可以了。比較常規(guī)的做法就是把功率環(huán)節(jié)中的波特圖先畫(huà)出來(lái)，然后再根據(jù)目標(biāo)去設(shè)計(jì)補(bǔ)償環(huán)節(jié)的參數(shù)。一般的教科書(shū)的建議就是采用折線法，把環(huán)路中每一個(gè)零極點(diǎn)算出來(lái)，然后再用折線來(lái)描繪波特圖，但這種方式有著不小的缺點(diǎn)，一個(gè)就是有誤差，第二個(gè)就是有些傳遞函數(shù)是無(wú)法解析出零極點(diǎn)的，所以我個(gè)人建議利用電腦軟件，把開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的波特圖完整的畫(huà)出來(lái)，然后再去改變補(bǔ)償環(huán)節(jié)的參數(shù)，去匹配目標(biāo)。
那么常用的軟件有什么？有Mathcad的和Excel之類(lèi)，我個(gè)人比較傾向于Excel，是因?yàn)镋xcel比較便宜，還有一個(gè)就是Excel可以制作界面比較友好的工具。
再來(lái)舉個(gè)例子就是電流型的boost，我們還是在輸出端，把整個(gè)環(huán)路斷開(kāi)，斷開(kāi)的地方分為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)是勞動(dòng)信號(hào)的輸入vi，一個(gè)是輸出vo。我們把傳遞函數(shù)vo/vi寫(xiě)出來(lái)，那么就是整個(gè)開(kāi)環(huán)的傳遞函數(shù)。
這里我們還是可以把整個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分成三段。第一段是vc/v i，也就是補(bǔ)償環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)我們上面已經(jīng)講過(guò)了，就是運(yùn)放的補(bǔ)償電路。第二個(gè)環(huán)節(jié)是ic/vc，
這個(gè)是運(yùn)放的輸出電壓到采樣電流的傳遞函數(shù)。如果是通過(guò)電阻采樣的，那么實(shí)際表達(dá)式應(yīng)該為1/r，這里的r是電流采樣電阻。最后一個(gè)就是vo/ic，的這個(gè)傳遞函數(shù)在前面講電流型小信號(hào)模型的時(shí)候我們已經(jīng)講過(guò)了。那么最后把這三個(gè)函數(shù)相乘，就可以得到我們所要的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。