本文轉(zhuǎn)自徐飛翔的“相機(jī)中的透視投影幾何——討論相機(jī)中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質(zhì)”
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相機(jī)的針孔模型我們?cè)?jīng)在[1]中討論過(guò)關(guān)于相機(jī)的針孔模型的話題，這里我們要再次提起下這個(gè)模型。針孔模型(pinhole model) 是最簡(jiǎn)單的可以成像的“設(shè)備”，然而其可以精確地得到 透視投影(Perspective Projection) 的幾何信息，這里所說(shuō)的透視投影，定義為：
將三維物體的信息映射到二維平面上，稱之為透視投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )
Fig 1.1 相機(jī)的針孔模型及其透視投影成像。
在針孔模型中，光線通過(guò)一個(gè)無(wú)限小的孔，并且在成像平面上呈現(xiàn)出倒像。呈現(xiàn)出倒像不方便我們的分析，因此我們?cè)诜治鰰r(shí)通常假設(shè)成像平面在焦點(diǎn)之前，距離同樣也是焦距（未歸一化之前，歸一化之后距離就是1了，稱之為歸一化坐標(biāo)系）。
透視投影的方程我們需要用代數(shù)方式描述透視投影中的比例關(guān)系，如圖Fig 2.1所示，根據(jù)相似三角形的知識(shí)，我們有：
其中的是焦距。
聯(lián)合公式(2.1)和(2.2)，我們有透視投影公式：
用矩陣形式表達(dá)就是：
透視投影的若干性質(zhì)
多對(duì)一映射，在透視投影中，已知了投影點(diǎn)之后，其實(shí)體點(diǎn)A并不是唯一的，而是存在于過(guò)焦點(diǎn)連線
上的任意一點(diǎn)都有可能(不過(guò)要在
之后呢，所以應(yīng)該是在
的延長(zhǎng)射線上。)
放縮和投影縮放。
- 當(dāng)一個(gè)平面或者一條直線平行于成像平面時(shí)，透視投影的影響其實(shí)就是對(duì)這個(gè)平面/直線進(jìn)行了縮放(scaling)。
- 當(dāng)一個(gè)平面或者直線不平行于成像平面時(shí)，透視投影的會(huì)產(chǎn)生非線性的投影扭曲(projective distortion)，可以將其分解成平行于成像平面的分量的縮放。
Fig 2.2 尺度縮放和投影縮放。
焦距的若干影響如圖Fig 2.3 所示，不同焦距有著不同的影響，注意到，我們發(fā)現(xiàn)，焦距越小，其視角越大，屬于廣角攝像頭(wide-angle camera)；焦距越大，其視角越小，但是分辨率會(huì)提高，屬于望遠(yuǎn)鏡攝像頭(more telescopic)。
Fig 2.3 不同焦距的影響。
在透視投影中，在投影過(guò)程中，實(shí)際的平行關(guān)系通常不能保留下來(lái)，實(shí)際上，透視投影保留不了角度，距離等大部分的幾何關(guān)系，但是保留了直線的“直”的這個(gè)屬性。[2]
正交透視投影和弱透視投影注意到透視投影一般來(lái)說(shuō)是非線性的，其不保留原始元素的大部分幾何屬性，比如平行，角度等，為了分析方便，我們假設(shè)當(dāng)焦距無(wú)限大時(shí)，我們?cè)诔上衿矫嫔蠒?huì)存在一個(gè)所謂的正交投影，這個(gè)正交投影可以保留平行關(guān)系。其每個(gè)投影線都是平行的。這個(gè)稱之為正交投影(orthographic projection)。
公式描述如:
矩陣形式：
正交投影的尺度大小是和原始物體的大小一致的，當(dāng)考慮的正交頭像的尺度縮放時(shí)，就有了弱透視投影(weak perspective projection)。
公式如:
矩陣形式:
Reference
[1]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/102632940
[2]. Hartley R, Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision[J]. Kybernetes, 2008, 30(9/10):1865 - 1872.